No
século III da era cristã, quando a escola de Alexandria já se encontrava
em decadência, ali viveu o mais brilhante teórico do números da
antiguidade, Diofante. Dentre as vária contribuições de Diofante
à Matemática, uma delas merece um comentário especial, uma vez que
se trata de algo sabido por todos mas que poucos, quando perguntados,
conseguem justificar : as
regras dos sinais na multiplicação de números relativos.
Já nos primeiros contatos com a Aritmética aprendemos que, na multiplicação,
os sinais comportam-se da seguinte maneira :
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(a)
+ x - = -
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(b)
+ x - = - |
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(c)
- x + = - |
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(d)
- x - = + |
Diofante
foi, talvez, o primeiro matemático a expor estes fatos de maneira
clara, demonstrando sua validade com base na chamada propriedade
distribuitiva do produto em relação à soma e à subtração. Esta propriedade,
por exemplo, que justifica escrever-se
a ( b + c ) =
ab + ac ou
a ( b - c
) = ab - ac ou a - b( c + d ) = a - bc - bd
de
onde decorrem as generalizações (a), (b) e (c) do quadro. Entretanto,
as coisas requerem um pouco mais de raciocínio quando se trata de
demonstrar que a multiplicação de dois números negativos dá um número
positivo. Há pelo menos duas formas de se chegar a essa conclusão.
Eis uma delas :
a - b = c
onde
a
é o chamado minueno, b
o
chamado subtrendo e o c
resultado. O que acontece ao resultado da subtração se aumentarmos
o subtraendo de um valor, digamos d
de
modo a ter-se a subtração a
- ( b + c ) ?
É evidente que se o subtraendo for aumentado de d
o
resultado será diminuído da mesma quantidade. E o aconteceria se
o subtraendo fosse diminuído do valor d
?
Pelo mesmo raciocínio, o resultado seria aumentado de d,
o que permite escrever :
se a - b = c então a - (b - c )= c + d ou a - b + ( - )( - d ) = c + d
como
a
- b = c
temos c
+ ( - )( - d ) = c + d
subtraíndo c dos dois lados : (
- )( - d ) = + d
e
esta demonstrado que (-)(-)=(+).
A prova de Diofante, entretanto foi geométrica. Considere a figura
abaixo, onde os valores a , b , c , d são representados por segmentos
de retas
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a |
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| c
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<------b------>
b(c-d)
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<-----------(a-b)--------->
(a-b)(c-d) |
(c-d) |
| |
bd |
d(a-b) |
d |
Desta
figura tem-se: (a
- b)(c - d) + b(c - d) + bd + d( a - b) = ac
pois a área do retângulo maior é a soma das áreas dos quatro retângulos
nele contido. O desenvolvimento dessa expressão é :
(a - b)(c - d)
+ bc - bd + bd + ad - bd = ac
(a
- b)(c - d) + bc + ad - bd = ac subtraindo
bc e
ad de
cada membro e somando
bd temos
(a
- b)(c - d) = ac - ad - bc +bd
Isto
mostra que no desenvolvimento de (a
- b)(c - d) o produto
(-b)(-d)
é + bd
|
